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No me considero persona “de ciencias” ni “de letras”. Aquellos lectores que se hayan tomado la molestia de ver mi perfil para saber quién escribe este blog habrán visto que a la hora de estudiar me decanté por una ingeniería, la aeronáutica, y que también soy licenciado en Historia. He encontrado a mucha gente a la que esto le parece peculiar porque piensa que ambos mundos son opuestos, pero yo nunca he entendido ese punto de vista.

Sin embargo hay quien es incapaz de redactar un texto con un mínimo de soltura y argumenta como excusa que es “de ciencias”, o bien una persona no consigue hacer una simple división para saber cuánto tiene que aportar cada comensal en una cena pagada a escote, pero esto le parece normal “porque como soy de letras…”. Y así nos encontramos con casos en los que todo se fía a la intuición por no leer o por no hacer un pequeño cálculo. Pero la intuición engaña a no ser que esté previamente entrenada, y para demostrarlo y centrar el tema de hoy os voy a contar un cuento.

La leyenda

Cuentan que el inventor del ajedrez era un sabio que pretendía con su creación demostrarle a un rey que es preciso reflexionar antes de actuar. El rey, al que le había gustado mucho aquel juego, le preguntó al sabio qué quería como recompensa y éste respondió que sólo quería que le dieran un grano de trigo por la primera de las casillas del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta… y así sucesivamente hasta completar las 64 casillas. El rey, demostrando que no había aprendido nada y confiando en que su promesa le costaría como mucho un saco de trigo, concedió la petición y se metió en un buen lío.

Quien lea esto y esté mínimamente familiarizado con las matemáticas sabe dónde está la trampa de la petición del sabio: el crecimiento del número de granos con las casillas del tablero es exponencial. 2º es el valor de la primera casilla, 2¹ el de la segunda, 2² el de la tercera y así hasta el final, que es 2 elevado a la 64. Al principio el asunto no parece grave porque en una casilla como la 11ª el número de granos de trigo correspondientes es de 1.024, más o menos un kilo, pero cuando llevamos 20 casillas la cosa ya empieza a ser seria porque hacen falta 524.288 granos. A mitad del tablero (casilla 32) necesitamos 2³¹ granos, que son más de 2.000 millones, 2.147.483.648 granos para ser exactos, que serían unas 1.800 toneladas… ¡y sólo estamos a la mitad!

Bueno, es una barbaridad, podría pensar el rey, pero le damos el doble y ya está, ¿no es así? Pues no, no es así, porque el doble hay que dárselo en la siguiente casilla, la 33. A la última casilla, la número 64, le corresponden 9.223.372.036.854.775.808, o sea, 9 trillones y pico de granos. Le sumamos lo de las 63 casillas anteriores y salen más de 18 trillones de granos que suponen la producción mundial de los próximos 20.000 años más o menos (esto último no lo sé con seguridad, pero en este caso me fiaré de Wikipedia, que calcula una producción mundial de algo más de 708 millones de toneladas).

Es lo que tiene de peculiar una exponencial: al principio crece despacio, pero cuando se dispara no hay quien la frene. En forma gráfica:

ExponencialLa recta roja corresponde al típico crecimiento lineal que tan intuitivo resulta. En este caso se trata de multiplicar un número por 50. Al número 1 del eje horizontal le corresponde el 50 del vertical, al 2 le corresponde el 100, al 5 le corresponde el 250, etc. La curva azul corresponde a elevar al cubo el número de entrada. Así al 1 le corresponde el 1, al 2 el 8, al 3 el 27 y así. Como vemos su crecimiento inicial es lento, pero de pronto se dispara, aunque nada que ver con la exponencial en verde, que es la del tema de hoy: una exponencial de base 2 con el resultado que ya conocemos y que cuando se dispara lo hace de verdad.

Nuestros disgustos vienen de pensar que las cosas funcionan de forma lineal, como la recta roja, pero a veces no es así y las cosas se complican. Todo esto está muy bien, pero ¿para qué sirve aparte de para contar una leyenda? Pues para afrontar determinados problemas, caramba. Veamos uno bien conocido:

La estafa

Se conoce como estafa piramidal o esquema Ponzi. La vi por primera vez hace muchos años y entonces tomaba la forma de una lista con diez nombres: había que envíar mil pesetas (sí, hace muchos años y ya voy teniendo una edad) al primero de la lista y hacer diez copias omitiendo el primer nombre y añadiendo el propio al final. El sistema suponía gastar sólo mil pesetas, pero cuando el propio nombre llegara al primer lugar se recibiría una cantidad alta de dinero.

Sin entrar a pensar en la cantidad de gente que podría romper la cadena o alterar las reglas y suponiendo que todo el mundo siga las instrucciones hacemos un cálculo: Nosotros enviamos 10 listas, los siguientes enviarán 10 cada uno y eso hacen 100. Cada uno de esos 100 enviará otras 10 listas y ya van 1000. ¿Nos suena? Claro que sí, es otra exponencial, en este caso de base 10, que son muy agradecidas porque para calcular basta con escribir un uno y detrás tantos ceros como indique el exponente: 2 en el nivel 2 para escribir 100, 3 en el nivel 3 para escribir 1000… en el nivel 6 ya estamos por el millón, en el nivel 8 por los cien millones y ya no hace falta seguir porque nadie se cree que haya cien millones de personas, más del doble de la población española, que se vayan a implicar en el juego de enviarle mil pesetas al primero de una lista.

Parece una estafa absurda, ¿verdad? Pues hace unos años el famoso asunto de Afinsa funcionaba más o menos así y son innumerables los casos de supuestos negocios en los que los beneficios se basan en el dinero aportado por los nuevos inversores. Hasta que el número de éstos no puede seguir creciendo, claro.

El apocalipsis zombie

Antes de hablar de zombies vamos con los vampiros, que me son más simpáticos, probablemente porque son más limpios. Si el conde Drácula muerde a una persona cada noche y esa persona pasa a ser un nuevo vampiro, tenemos un problema muy serio porque en la siguiente noche habrá dos vampiros que morderán a dos personas, a la siguiente cuatro vampiros, a la siguente ocho… nos suena, ¿verdad? Otra exponencial de base dos, como la de los granos de trigo.

Como somos así de perezosos podemos usar los cálculos de antes y así sabremos que tras 32 noches, apenas un mes después de que el conde empezara a ir mordiendo a la gente, habría 2.000 millones y pico de personas infectadas. En 34 noches ya estaría infectado todo el planeta Tierra. Cambiamos al conde Drácula por un zombi y ya tenemos la catástrofe de moda en las novelas y la televisión: el apocalipsis zombie.

¿Y por qué os cuento todo esto? El motivo es que el problema inicial, el del tablero de ajedrez, me vino a la mente cuando se empezó a hablar de aislar a quienes hubiesen estado en contacto con una persona enferma de Ébola. Supongamos que esa persona estuvo en contacto con otras diez, que a su vez estuvieron en contacto con otras diez, que a su vez… ¿nos suena? Podría escribir muchos párrafos a partir de aquí, pero no es necesario porque la conclusión es evidente: me pueden jurar por lo más sagrado que todo está bajo control, pero yo no me lo creo.

Hay otra conclusión: en mi próxima entrevista de trabajo pediré un sueldo modesto: un euro por mi primer día como empleado, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto… así sucesivamente, hasta completar el mes, y luego vuelta a empezar (tampoco hay que abusar). Suponiendo que el mes tenga 20 días laborables, el último de ellos me tendrán que pagar 1.048.576 euros. Seis meses a ese ritmo y me jubilo. Sólo me falta encontrar una empresa cuyo gestor se considere a sí mismo una persona “de letras”.

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